agasfer (agasfer) wrote,
agasfer
agasfer

Category:

Задачка

Знатоки Закона Архимеда, предскажите, как будет плавать брошенный в воду деревянный кубик? Гранью вверх, ребром вверх, вершиной вверх?
Subscribe
  • Post a new comment

    Error

    Anonymous comments are disabled in this journal

    default userpic

    Your reply will be screened

    Your IP address will be recorded 

  • 85 comments
Previous
← Ctrl ← Alt
Next
Ctrl → Alt →
Вы попали в Т30P самых обсуждаемых тем в блогосфере.
Это Ваш 1-й ТОПовый пост в этом году.
Посмотреть статистику автора можно в карточке топблогера.
ОК
Задача, как ни странно, трудная, но кое-что сказать могу.

Прежде всего, надо искать минимумы потенциальной энергии кубика и воды в зависимости от положения кубика. У кубика четыре интересных координаты: высота центра тяжести (одна координата) и ориентация (три координаты). Условие минимизации по высоте даёт закон Архимеда: вес воды в объёме подводной части равен весу кубика.

Теперь надо, наложив условие Архимеда, искать критические точки полной потенциальной энергии в зависимости от ориентации. Оказывается, что есть два удобных выражения для потенциальной энергии (с точностью до постоянной величины):

(1) разность высоты центра тяжести кубика и центра тяжести его подводной части, умноженная на вес кубика;
(2) разность высоты центра тяжести надводной части кубика и подводной части кубика, умноженная на вес надводной части кубика.

Заметим, что вторые множители -- вес кубика и вес его надводной части при условии Архимеда -- не зависят от ориентации кубика, так что надо минимизировать только разность высот.

Минизация при произвольной плотности кубика выглядит непросто, но кое-что можно сказать:

1. Если плотность кубика гораздо меньше плотности воды, и он почти не погружён, то минимум (1) достигается, когда кубик лежит на грани.

2. Если плотность кубика лишь чуть-чуть меньше плотности воды, и он погружён почти полностью, то минимум (2) достигается опять же тогда, когда две грани горизонтальны.

3. Если плотность кубика равно половине плотности воды, то в двумерном случае (не кубик, а длинный брусок с квадратным сечением), как ни странно, выражение (1) меньше, если диагонали квадрата горизонтальны и вертикальны, чем если стороны квадрата горизонтальны и вертикальны.

Ввиду третьего пункта можно предположить, что по мере роста плотности кубика он или сразу начнёт крениться на бок, а в конце опять выпрямится, или есть какое-то критическое значение плотности, при котором горизонтальная ориентация вдруг станет нестабильной. В общем, будет "фазовый переход", но я не знаю, какого рода.
Ну вы в 1-й раз ответили правильно: https://agasfer.livejournal.com/2376218.html?thread=20306458#t20306458
В первый раз я ошибся, потому что стал минимизировать просто высоту центра тяжести кубика при условии Архимеда. Из-за этого у меня получилось, что при половинной плотности все ориентации хороши, а при почти плотности воды он будет плавать вершиной вверх. alexanderr тут же указал, что это маловероятно. Тут я вспомнил, что надо бы учесть с отрицательным знаком потенциальную энергию "вытесненной воды" и тут же получил выражение (1). Правда, оно неудобно при анализе устойчивости, когда плотность почти равна плотности воды, но можно тогда можно использовать выражение (2). Опять же, коэффициент при нём стремится к нулю, когда плотность кубика подходит к плотности воды, что говорит нам о том, что кубику становится безразлична его ориентация.
Бог ты мой, я почитала комментарии и предпочту помолчать. За умную не сойду, но хоть чуши не ляпну.
Тебе-то как раз проще эксперимент провести :)
Previous
← Ctrl ← Alt
Next
Ctrl → Alt →